机器人运动学（四）：逆向运动学

更新时间: 2025-08-05 10:35:37

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回顾之前学的手臂顺向运行学forward kinematics（FK） θ i heta_i W P ^WP H W T = f ( θ 1 . . . , θ i , . . . θ n . . . ) W P = H W T H P ^W_HT = f( heta_1..., heta_i,... heta_n...)\~\~ ^WP= ~^W_HT^HP 今天要学的逆向运动学Inverse Kinematics（IK） W P ^WP θ i heta_i [ θ 1 . . . , θ i , . . . θ n . . . ] = f − 1 ( H W T ) [ heta_1..., heta_i,... heta_n...]=f^{-1}(^W_HT)

l 1 = l 2 l_1= l_2 时的原点是Dexterous workspace

Ex：A PRmanipulator 要达到空间中某个（第二个关节的平面上） ( x , y ) (x,y) 坐标点上，当我们决定了x，y后，事实上我们也决定了到达这个点的姿态。 0 P o r g ^0P_{org} 是{2}原点在{W}的向量坐标，可以看出，当机械臂到达坐标（x，y）后，{2}Z轴已经确定了，因为只有两个关节，没有多的参数可以调控姿态，所有没办法可以使手臂在（x，y）上有各种姿态到达。换句话说，如式中所示，随着x，y变化的只有第一个和第三个columns的前两个参数，rotation tmatrix剩下的五个参数已经固定，在这个手臂上，与这五个参数不一样的姿态手臂都到达不了。所以，当手臂的自由度不够的时候，事实上手臂的subspace是非常有限的。所以，在我们对一个手臂的预想某一个位姿，这个手臂到不到得了，可以做一个初步的判断。

以6DOFs为例，由于是nonlinear transcendtal equations，六个未知数六个方程，不一定有唯一解。解的数目由joint数量和link参数所决定的 Ex：A RRRRRR manipulator

目前大多数机械手臂设计成具有解析解，求解的速度会快很多。如果将相邻的后三轴设计成相交于一点，那么就很可能有解析解，也就是我们说的Pieper‘s solution。

若6-DOF manipulator具有三个连续的轴交在同一点，则手臂有解析解。一般会把后三轴如此设计。前三轴：产生移动后三轴：产生转动因为后三轴交在一点，即 0 P 6 O R G = 0 P 4 O R G ^0P_{6~ORG} = ^0P_{4 ~ORG}

情景：将一个杯子拿起来，然后将其挂在墙上，现在暂时只解决拿起来的问题